Question

如图，若F₁、F₂为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且四边形OMPF₁为菱形．

(Ⅰ)若此双曲线过点，求双曲线的方程；

(Ⅱ)设(Ⅰ)中双曲线的虚轴端点为B₁、B₂(B₁在y轴的正半轴上)，过B₂作直线l与双曲线交于A、B两点，当时，求直线l的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)∵四边形PF1OM是菱形，设半焦距为c，则有|OF1|＝|PF1|＝|PM|＝c， 　　∴|PF2|＝|PF1|＝2a＝c＝2a．由双曲线第二定义得 　　即　　2分 　　又 　　设双曲线方程为　　4分 　　∵双曲线过点N(2，)，得a2＝3 　　∴所求双曲线的方程为　　6分 　　(Ⅱ)由题意知B1(0，3)、B2(0，－3)，设直线l的方程为 　　 　　则由　消去y得　　7分 　　 　　∵双曲线的渐近线为，∴时，直线l与双曲线只有一个交点， 　　即　　9分 　　∵ 　　∴ 　　又∵， 　　而 　　∴， 　　即　　11分 　　∴直线l的方程为　　12分