Question

已知椭圆 +y²=1的左焦点为F，O为坐标原点.

（1）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程;

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.

Answer 1

解：（1）∵a²=2,b²=1,

∴c=1,F(-1,0),l:x=-2

∵圆过点O、F，

∴圆心M在直线x=上.

设M（，t），则圆半径

r=|（）-（-2）|=.

由|OM|=r，得，

解得t=±.

∴所求圆的方程为（x+）²+（y±）²=.

(2)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),

代入+y²=1，整理得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0.

∵直线AB过椭圆的左焦点F，

∴方程有两个不等实根.

记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），

则x₁+x₂=，

∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y₀=(x-x₀).

令y=0，得x_G=x₀+ky₀=.

∵k≠0,∴-12＜x_G＜0,

∴点G横坐标的取值范围为（，0）.