Question

已知函数函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）求f（0）的值
（2）证明函数f（x）是周期函数
（3）若f（x）=x（0＜x≤1），求x∈R时，函数f（x）的解析式，并画出满足条件的函数f（x）至少一个周期的图象．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），令x=0 可得f（0）=0．
（2）根据f（-x）=-f（x），再由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（-x）=f（2+x），可得f（2+x）=-f（x），从而得到 f（4+x）=f（x），从而结论成立．
（3）由条件求出当-1≤x≤1时f（x）=x，当1＜x＜3时，则-1＜2-x＜1，可得f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x．
从而得到f（x）在一个周期内的解析式，从而得到f（x）在定义域内的解析式，从而画出函数的图象．

解答：（1）解：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x），又f（x）的定义域为R，令x=0，则f（-0）=-f（0），所以f（0）=0．
（2）证明：因为函数f（x）是奇函数，所以f（-x）=-f（x）．
又函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（-x）=f（2+x），即f（2+x）=-f（x）．
所以f（4+x）=-f（2+x）=f（x），即f（x）是以4为一个周期的周期函数．
（3）解：设-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，所以f（-x）=-x． 又f（-x）=-f（x），所以f（x）=x，又f（0）=0，
所以，当-1≤x≤1时，f（x）=x．
当1＜x＜3时，-3＜-x＜-1，则-1＜2-x＜1． 所以f（2-x）=2-x，而函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
所以f（2-x）=f（x），即f（x）=2-x． 所以f（x）=

x，-1≤x≤1 2-x，1＜x＜3

．
再由f（x）是以4为一个周期的周期函数，从而有f（x）=

x-4k，4k-1≤x≤4k+1 4k+2-x，4k+1＜x＜4k+3

，（k∈Z）．
如图所示：

点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，求函数解析式得方法，求出1＜x＜3时，函数解析式为f（x）=2-x，是解题的关键．