Question

已知函数f（x）=a（lnx-x）（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，函数g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（2，3）上总存在极值，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用导数研究函数的单调性，首先求出极值点，同时注意函数的定义域；
（II）已知函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，根据导数与直线斜率的关系可得f′（2）=1，将问题转化为二元一次方程有解问题，从而求解；

解答：解：（I）易知f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

a(1-x)

x

，
当a＜0时，令f′（x）=

a(1-x)

x

＞0，即

1-x

x

＜0，解得增区间为（1，+∞），
减区间为（0，1）；
当a＞0时，令f′（x）=

a(1-x)

x

＞0，即

1-x

x

＞0，解得增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（II）∵函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
∴f′（2）=

a(1-2)

2

=tan45°=1，
∴a=-2，
f′（x）=

-2(1-x)

x

=

2(x-1)

x

，
g（x）=x³+x²（

m

2

+

2(x-1)

x

）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
g′（x）=3x²+（m+4）x-2，
∵g′（0）=-2＜0，要使函数g（x）=x³+x²[

m

2

+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值，
只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得-

37

3

＜m＜-9；

点评：此题利用导数研究函数单调区间，以及导数所表示的几何意义，将问题转化为方程有解问题，是一道中档题；