题目内容
已知函数f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1，x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[
，
]上的最小值与最大值．
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
个单位，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
| π |
| 8 |
分析：（1）将函数的表达式展开，得f（x）=2cos2x-2cosxsinx+1，再用三角函数的降幂公式和辅助角公式，得到f（x）=2+
sin（2x+
），最后可用周期的公式求出函数的最小正周期；
（2）区间[
，
]上，π≤2x+
≤
，从而得出
sin（2x+
）∈[ -
，1]，最后得出函数f（x）在区间[
，
]上的最大值为3，最小值为2-
；
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
个单位，得到y=f（x-
）的图象，再沿y轴负方向平移2个单位得到y=f（x-
）-2的图象，说明g（x）=f（x-
）-2，代入（1）的表达式即可．
| 2 |
| 3π |
| 4 |
（2）区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| 9π |
| 4 |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
| π |
| 8 |
解答：解：（1）f（x）=2cosx（cosx-sinx）+1=2cos2x-2cosxsinx+1
=cos2x-sin2x+2=2+
sin(2x+
)（2分）
因此，函数f（x）的最小正周期为π（4分）
（2）因为f(x)=2+
sin(2x+
)
在区间[
，
]上是减函数，
在区间[
，
]上是增函数，
又f(
)=2，f(
)=2-
，f(
)=3（8分）
所以，函数f（x）在区间[
，
]上的最大值为3，最小值为2-
（10分）
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
个单位得y=2+
sin[2(x-
)+
]=2+
sin(2x+
)=2+
cos2x（12分）
再沿y轴负方向平移2个单位得y=2+
cos2x-2=
cos2x，
所以g(x)=
cos2x（14分）
=cos2x-sin2x+2=2+
| 2 |
| 3π |
| 4 |
因此，函数f（x）的最小正周期为π（4分）
（2）因为f(x)=2+
| 2 |
| 3π |
| 4 |
在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
在区间[
| 3π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
又f(
| π |
| 8 |
| 3π |
| 8 |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
所以，函数f（x）在区间[
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
（3）将函数y=f（x）的图象沿x轴正方向平移
| π |
| 8 |
| 2 |
| π |
| 8 |
| 3π |
| 4 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 2 |
再沿y轴负方向平移2个单位得y=2+
| 2 |
| 2 |
所以g(x)=
| 2 |
点评：本题着重考查了三角函数的图象与性质，属于中档题．对三角函数公式的记忆要求较高，同时还考查了函数图象的平移的规律，是一道不错的典型题．
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