题目内容

本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分,作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
设矩阵 M=
a0
0b
(其中a>0,b>0).
(I)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;
(II)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’:
x2
4
+y2=1
,求a,b的值.
(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中,直线l的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
x=
3
cos∂
y=sin∂
(∂为参数)
.
(I)已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,点P的极坐标为(4,
π
2
),判断点P与直线l的位置关系;
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值.
(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲
设不等式|2x-1|<1的解集为M.
(I)求集合M;
(II)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
(1)(I)∵M=
a0
0b

∴M-1=
.
b
ab-0
0
ab-0
0
ab-0
a
ab-0
.

将a=2,b=3代入即得:M-1=
.
3
6
0
6
0
6
2
6
.
=
.
1
2
0
0
1
3
.

(II)设出曲线C:x2+y2=1任意一点为(x0,y0)经矩阵M所对应的线性变换作用下得到的点为(x,y),
∵M(x0,y0)=(x,y)
∴
ax0=x
by0=y

将之代入
x2
4
+y2=1
得:
a2
x02
4
+b2
y20
=1

即
a2
4
=1
b2=1

∵a>0,b>0
∴
a=2
b=1

(2)(I)解∵P的极坐标为(4,
π
2
),
x=ρcosθ
y=ρsinθ

∴P的直角坐标为(0,4)
∵直线l的方程为x-y+4=0
∴(0,4)在直线l上
(II)∵曲线C的参数方程为
x=
3
cos∂  ①
y=sin∂  ②
(∂为参数)
,直线l的方程为x-y+4=0
设曲线C的到直线l的距离为d
则d=
|
3
cosα-sinα+4|
12+12
=
|4+2sin(
π
3
-α)|
2

∵2sin(
π
3
-α
)∈[-2,2]
∴d的最小值为
2

(3)(I)∵|2x-1|<1
∴-1<2x-1<1
即0<x<1
即M为{x|0<x<1}
(II∵a,b∈M
∴a-1<0.b-1<0
∴(b-1)(a-1)>0
∴(ab+1)-(a+b)=a(b-1)+(1-b)=(b-1)(a-1)>0
即(ab+1)>(a+b)
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