Question

知0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos(β-

π

4

)=

1

3

，sin(α+β)=

4

5

（1）求sinβ；
（2）求sin2β的值；
（3）求cos(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）由条件可得 cosβ+sinβ=

2

3

，再根据 cos²β+sin²β=1 求出sinβ的值．
（2） 先根据同角三角函数的基本关系求出cosβ 值，用二倍角公式可求sin2β．
（3）根据角的范围求出sin（β-

π

4

）和cos（α+β），由 cos(α+

π

4

)=cos[（α+β）-（ β-

π

4

）]运算化简得出结果．

解答：解：（1）∵0＜α＜

π

2

＜β＜π，cos(β-

π

4

)=

1

3

，∴

2

2

cosβ+

2

2

sinβ=

1

3

，
∴cosβ+sinβ=

2

3

，又 cos²β+sin²β=1，解得sinβ=

2 2

3

．
（2）由（1）知，cosβ=-

1-sin2β

=-

1

3

，∴sin2β=2sinβcosβ=-

4 2

9

．
（3）由已知条件可得 β-

π

4

为锐角，α+β为钝角，∴sin（β-

π

4

）=

2 2

3

，cos（α+β）=-

3

5

，
∴cos(α+

π

4

)=cos[（α+β）-（ β-

π

4

）]=cos（α+β）•cos（ β-

π

4

）+sin（α+β）•sin（ β-

π

4

）
=-

3

5

•

1

3

+

4

5

•

2 2

3

=

8 2 -3

15

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角公式的应用，角的变换和角的范围的确定是解题的难点．