Question

定义在R上的函数f（x）对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b）+1，求证：
（1）f（0）=-1；
（2）f（x）+f（-x）=-2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令a=b=0，代入条件，即可求得f（0）=-1；
（2）令a=x，b=-x，代入条件，并结合f（0）=-1．即可得证．

解答： 证明：（1）∵对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b）+1，
∴令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）+1，
∴f（0）=-1；
（2））∵对任意的实数a，b都有f（a+b）=f（a）+f（b）+1，
∴令a=x，b=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）+1，
∴f（x）+f（-x）=-2．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键．