Question

17．如图所示，四棱锥VABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC=4cm，求这个正四棱锥的体积．

Answer 1

分析 连结AC，BD，交于点O，连结VO，先求出高VO，由此能求出这个正四棱锥的体积．

解答 解：连结AC，BD，交于点O，连结VO，
∵四棱锥VABCD的底面为边长等于2cm的正方形，
顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，
侧棱长VC=4cm，
∴AO=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$（cm），
∴VO=$\sqrt{16-2}$=$\sqrt{14}$（cm），
∴这个正四棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}×VO$=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{14}$=$\frac{4\sqrt{14}}{3}$（cm³）．

点评 本题考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、空间思维能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．