Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2．
（1）证明：面PAD⊥面PCD；
（2）求直线DC与面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：PA⊥CD，因为ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，所以CD⊥AD，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直进而得到面面垂直．
（2）根据题意建立坐标系，求出平面的法向量，并且写出平面的有关斜线所在的向量，再利用向量的关于计算线面角．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?面ABCD∴PA⊥CD
又ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD             
（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
所以

CB

=(-1，1，0)，

CP

=(-1，-1，1)
设平面PBC的法向量为

n

=(1，y，z)，
由

n

•

CB

=0，

n

•

CP

=0，
可得

n

=(1，1，2)，
设直线DC与面PBC所成的角为θ，
有sinθ=|cos＜

n

，

DC

＞|=

6

6

，
∴直线DC与面PBC所成的角的正弦值为

6

6

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征，进而得到线面的一些平行与垂直关系，并且利于建立坐标系利用向量解决空间角问题．