Question

在△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1．设

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

(λ＞0)．
（1）求

AB

•

AC

；
（2）证明：A、P、C三点共线；
（3）当△ABP的面积为

3 +1

4

时，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理，计算cosA，再利用向量的数量积公式，即可求得结论；
（2）利用向量共线定理，证明

AP

=λ

AC

即可；
（3）利用三角形的面积公式，计算AP，即可求λ的值．

解答：（1）解：∵△ABC中，BC=2，AC=

2

，AB=

3

+1，
∴由余弦定理知：cosA=

2+( 3 +1)2-4

2× 2 × 3 +1

=

2

2

∴

AB

•

AC

=|

AB

||

AC

|cosA=

3

+1；
（2）证明：∵

BP

=(1-λ)

BA

+λ

BC

(λ＞0)
∴

BP

-

BA

=λ(

BC

-

BA

)，
∴

AP

=λ

AC

（λ＞0），
∵

AP

、

AC

有公共点A
∴A、P、C三点共线．
（3）解：∵S_△ABP=

1

2

AB•AP•sinA=

1

2

（

3

+1）•AP•

2

2

=

3 +1

4

，
∴AP=

2

2

，
∵AC=

2

，∴λ=

1

2

．

点评：本题考查向量的综合运算，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．