Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是边长为1的正方体，求：
（1）直线AC₁与平面AA₁B₁B所成角的正切值；
（2）二面角B-AC₁-B₁的大小．

Answer 1

分析：（1）先根据其为正方体得到∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角；然后在RT△C₁AB₁中求其正切即可；
（2）先过B₁作B₁E⊥BC₁于E，过E作EF⊥AC₁于F，连接B₁F；根据AB⊥平面B₁C₁CB推得B₁E⇒AC₁；进而得到∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角；然后通过求三角形的边长得到二面角B-AC₁-B₁的大小即可．

解答：解：（1）连接AB₁，∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，AB₁是AC₁在平面AA₁B₁B上的射影
∴∠C₁AB₁就是AC₁与平面AA₁B₁B所成的角
在RT△C₁AB₁中，tan∠C₁AB₁=

1

2

=

2

2

∴直线AC₁与平面AA₁B₁B所成的角的正切值为

2

2

（2）过B₁作B₁E⊥BC₁于E，过E作EF⊥AC₁于F，连接B₁F；
∵AB⊥平面B₁C₁CB，⇒AB⊥B₁E⇒B₁E⇒平面ABC₁⇒B₁E⇒AC₁
∴∠B₁FE是二面角B-AC₁-B₁的平面角
在RT△BB₁C₁中，B₁E=C₁E=

1

2

BC₁=

2

2

，
在RT△ABC₁中，sin∠BC₁A=

AB

AC 1

=

3

3

∴EF=C₁E•sin∠BC₁A=

6

6

，
∴tan∠B₁FE=

B 1E

EF

=

3

∴∠B₁FE=60°，即二面角B-AC₁-B₁的大小为60°．

点评：本题主要考察线面角以及二面角的平面角及其求法．解决二面角的平面角及求法的关键在于把二面角的平面角找出来或做出来，常用的做法是三垂线法．