Question

（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。

若，是否存在，有说明理由；

找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；

若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。

Answer 1

解：（1）由，                      ……2分

整理后，可得，_，为整数，

不存在_{，使等式成立。}                       ……5分

（2）解法一：若即，        （*）

（ⅰ）若，

当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。   ……7分

（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴，矛盾。

综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。

……10分

解法二：设，若，对都成立，且为等比数列，

则，对都成立，即，

，对都成立，

                                    ……7分

（ⅰ）若，。

（ⅱ）若，则（常数），即，则，矛盾

综上所述，，使对一切，       ……10分

（3），

设

，

，，            ……13分

取，……15分

由二项展开式可得正整数，使得，

存在整数满足要求。

故当且仅当，命题成立。                            ……18分

说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）

若为偶数，则为偶数，但为奇数。

故此等式不成立，一定为奇数。                         ……1分

当时，则，

而

当为偶数时，存在，使成立，                  ……1分

当时，则，

也即，，

由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分

当时，则，

也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，

故不是所有奇数都成立。                                        ……2分