Question

（2012•奉贤区二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC₁的中点，N是BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且满足

A1P

=λ

A1B1

．
（1）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大；
（2）在（1）的条件下，求三棱锥P-MNC的体积．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，求出直线PN与平面ABC所成的角，即可求得结论．
（2）求出点P到平面B₁BCC₁的距离，S_△CMN，即可求得三棱锥P-MNC的体积．

解答：解：（1）如图，以AB，AC，AA₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则P（λ，0，1），

PN

=(

1

2

-λ，

1

2

，-1)平面ABC的一个法向量为

n

=（0，0，1）
∴sinθ=|

PN • n

| PN || n |

|=

1

(λ- 1 2 )2+ 5 4

∴当λ=

1

2

时，（sinθ）_max=

2 5

5

，此时角θ最大为arcsin

2 5

5

；
（2）平面B₁BCC₁的法向量

m

=（

1

2

，

1

2

，0），
∴点P到平面B₁BCC₁的距离d=

| PN • m |

| m |

=

2

4

∵S_△CMN=

1

2

×

2

2

×

1

2

=

2

8

∴V_P-CMN=

1

3

×

2

8

×

2

4

=

1

48

．

点评：利用向量知识解决立体几何问题的优点在于用代数化的方法解决立体几何，解题的关键在于用坐标表示空间向量，熟练掌握向量夹角公式