Question

（本题满分12分）一条双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上不同的两个动点。
(1)求直线与交点的轨迹的方程式；
(2)设直线与曲线相交于不同的两点，已知点的坐标为，若点在线段的垂直平分线上，且.求的值.

Answer 1

解：（1）由，，        ……………2分
两式相乘得，而点在双曲线上，
所以      ……………2分
所以椭圆的方程为.                                             ….1分
(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x_1,,y₁）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),
于是A,B两点的坐标满足方程组                             
由方程组消去Y并整理，得           ……1分
由得
                                      
设线段AB是中点为M，则M的坐标为                  ……1分
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
              …1分
（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为
令x=0，解得
由

                            ……………2分
整理得                           
综上                          ……2分

略