Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点.

（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的方程；

（2）设垂直于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；

（3）设点满足：存在圆上的两点，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）设出圆的标准方程，由两圆外切，列出方程.再由圆与轴相切，得，联立解出，进而写出圆的方程；
（2）先求出的斜率以及，则可设直线，利用直线与圆的相交的弦长公式列方程，解出的值，从而写出的方程；
（3）利用向量的运算，将化为.因为圆上的两点，则，即.利用两点间的距离公式，列出不等式，即可解得的取值范围.

解：（1）因为圆的圆心在直线上，

所以设圆

又圆的标准方程为，

圆与外切，则圆心距①，

又因为圆与轴相切，则②，

联立①②解得，，

则所求圆的方程为；

（2），，

又直线，则可设直线，

圆心到直线的距离，

弦长，且，

，即，

解得，

或；

（3）由可得，

为圆上的两点，，即，

又，

，即，

，

即的取值范围为.