题目内容
（2012•黔东南州一模）数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n，bn=an+2n(n∈N*)．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求an；
（Ⅱ）求数列{
}的前n项和Sn．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求an；
（Ⅱ）求数列{
| an | bn |
分析：（Ⅰ）证明
为常数，即可得到{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
=
=1-(
)n，利用等比数列的求和公式，可得结论．
| bn+1 |
| bn |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
| an |
| bn |
| 3n-2n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
解答：（Ⅰ）证明：由题意，
=
=
=
=3…（3分）
又b1=3，知{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列…（4分）
∴bn=3n，即an+2n=3n，
∴an=3n-2n(n∈N*)． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
=
=1-(
)n…（8分）
故Sn=
+
+…+
=n-
…（10分）
=n+2×(
)n-2． …（12分）
| bn+1 |
| bn |
| an+1+2n+1 |
| an+2n |
| 3an+2n+2m+1 |
| an+2n |
| 3(an+2n) |
| an+2n |
又b1=3，知{bn}是以3为首项、3为公比的等比数列…（4分）
∴bn=3n，即an+2n=3n，
∴an=3n-2n(n∈N*)． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
| an |
| bn |
| 3n-2n |
| 3n |
| 2 |
| 3 |
故Sn=
| a1 |
| b1 |
| a2 |
| b2 |
| an |
| bn |
| ||||
1-
|
=n+2×(
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列为等比数列是关键．
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