Question

在锐角△ABC中，已知cosA=

10

10

，cosC=

5

5

，BC=3．求：
（1）△ABC的面积；（2）AB边上的中线CD的长．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，sinA=

3 10

10

，sinC=

2 5

5

，由正弦定理可得，

BC

sinA

=

AB

sinC

 可求AB，利用三角形的内角和及和角公式可求sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA，再由三角形的面积公式可得，S△ABC=

1

2

acsinB可求
（2）由（1）可求cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC，由余弦定理，CD²=BC²+BD²-2BC•BDcosB可求CD

解答：解：（1）由cosA=

10

10

，cosC=

5

5

可得，sinA=

3 10

10

，sinC=

2 5

5

由正弦定理可得，

BC

sinA

=

AB

sinC

∴AB=

3× 2 5 5

3 10 10

=2

2

∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+sinCcosA=

3 10

10

×

5

5

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

由三角形的面积公式可得，S△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×2

2

×

2

2

=3
（2）由题意可得△BDC中，BC=3，BD=

2

∴cosB=-cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=-

10

10

×

5

5

+

3 10

10

×

2 5

5

=

2

2

由余弦定理可得，CD²=BC²+BD²-2BC•BDcosB=9+2-2×3×

2

×

2

2

=5
∴CD=

5

点评：本题主要考查了同角平方关系，和角的正弦与余弦公式的应用，三角形的面积公式及正弦定理与余弦定理等知识的综合应用，知识较多，但都是基本应用，试题的难度不大．