Question

已知向量

a

=(x2-3，1)，

b

=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有

a

⊥

b

，当|x|≥2时，

a

∥

b

．
（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）当|x|＜2时，由

a

⊥

b

得

a

•

b

=(x2-3)x-y=0，y=x³-3x；（|x|＜2且x≠0）
当|x|≥2时，由

a

∥

b

．得y=-

x

x2-3

∴y=f(x)=

x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0) x 3-x2 ．(x≥2或x≤-2)

（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x²-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx²+x-3m≥0即m（x²-3）≥-x，
也就是m≥

x

3-x2

对?x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=

(3-x2)-x(-2x)

(3-x2)2

=

3+x2

(3-x2)2

＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=

-2

3-4

=2，f(2)=

2

3-4

=-2
当x≤-2时f(x)=

x

3-x2

＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．