Question

求证关于x的方程x²+2bx+1=0有两个负实根的充要条件是b≥1.

Answer 1

证明：充分性：∵b≥1，∴Δ=4b²-4≥0，

∴方程x²+2bx+1=0有实根并设为x₁和x₂，?

由韦达定理知∴x₁＜0,x₂＜0，即两根为负实数.?

必要性：∵x²+2bx+1=0的两实根均为负，?

且x₁·x₂=1，

∴2b=-（x₁+x₂）=-（x₁+）=（-x₁）+

∵-x₁＞0，∴（-x₁）+≥2，?

即2b≥2，∴b≥1.

综上，方程x²+2bx+1有两负根的充要条件是b≥1.