题目内容

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈N*），若不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（1）∵不等式f（x）＜2x的解集为（1，4），
∴f（1）-2=0，f（4）-8=0，且a＞0．
又方程f（x）=x有两个相等的实数根，即ax2+（b-1）x+c=0的△=（b-1）2-4ac=0．
联立
a+b+c-2=0
16a+4b+c-8=0
(b-1)2-4ac=0
a＞0
，解得
a=1
b=-3
c=4
．
∴f（x）=x2-3x+4．
（2）不等式f（x）＞mx在x∈（1，+∞）上恒成立?m＜
f(x)
x
=x+
4
x
-3在x∈（1，+∞）上恒成立；
令g（x）=x+
4
x
-3(x＞1)，则g(x)≥2
x•
4
x
-3=4-3=1，当且仅当x=2时取等号．
∴m＜1．
练习册系列答案
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