Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+ax2 ， g（x）= +x+b，且直线y=﹣ 是函数f（x）的一条切线． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）对任意的x1∈[1， ]，都存在x2∈[1，4]，使得f（x1）=g（x2），求b的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设直线y=﹣ 与f（x）相切于点（x0 ， lnx0+ax02）（x0＞0）， f′（x）= +2ax= ，
依题意得 ，解得 ，
所以a=﹣ ，经检验：a=﹣ 符合题意；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=lnx﹣ x2 ，
所以f′（x）= ﹣x= ，
当x∈（1， ]时，f′（x）＜0，所以f（x）在[1， ]上单调递减，
所以当x∈[1， ]时，f（x）min=f（ ）= ﹣ e，f（x）max=f（1）=﹣ ，
，
当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，所以g（x）在[1，4]上单调递增，
所以当x∈（1，4]时，g（x）min=g（1）=2+b， ，
依题意得 ，
即有 ，
解得 ．
【解析】（Ⅰ）设直线y=﹣ 与f（x）相切于点（x0 ， lnx0+ax02）（x0＞0），求得f（x）的导数，由已知切线方程，可得切线的斜率为0，及f（x0）=﹣ ，解方程可得a的值；（Ⅱ）由题意可得f（x）在[1， ]的值域包含于g（x）在[1，4]的值域．运用导数， 求得单调性，可得值域，再由不等式解得即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．