Question

求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.

Answer 1

思路分析：可设抛物线方程为y²=2px(p＞0).如下图所示，只须证明=|MM₁|，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

证明:作AA₁⊥l于A₁，BB₁⊥l于B₁.M为AB中点，作MM₁⊥l于M₁，则由抛物线的定义，可知|AA₁|=|AF|，|BB₁|=|BF|.

    在直角梯形BB₁A₁A中：

|MM₁|=（|AA₁|+|BB₁|）=（|AF|+|BF|）=|AB|.

∴|MM₁|=|AB|.故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切.

方法归纳 类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.