Question

15．函数y=f（x）满足af（x）+bf（$\frac{1}{x}$）=cx，x≠0，其中a、b、c都是非零常数，a≠±b，求函数y=f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由已知af（x）+bf（$\frac{1}{x}$）=cx…①，以$\frac{1}{x}$代替x，得af（$\frac{1}{x}$）+bf（x）=$\frac{c}{x}$…②；由①②组成方程组，求出f（x）的解析式．

解答 解：∵af（x）+bf（$\frac{1}{x}$）=cx…①，且x≠0，
∴af（$\frac{1}{x}$）+bf（x）=$\frac{c}{x}$…②；
∴①×a-②×b，得
（a²-b²）f（x）=cax-$\frac{bc}{x}$，
又∵a≠±b，∴a²-b²≠0；
∴f（x）=$\frac{ca{x}^{2}-bc}{x（{a}^{2}-{b}^{2}）}$．

点评 本题考查了求函数解析式的问题，考查方程组的思想，是基础题．