Question

6．已知复数z₁，z₂满足：$\overline{{z}_{1}}$•z₂-|z₁|是纯虚数，z₂+i是实数，其中z₁=1+i，i是虚数单位．
（1）求$\overline{{z}_{1}}$及|z₁|；
（2）求复平面内表示复数z₂的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出；
（2）由于z₂+i是实数，可设z₂=a-i，（a∈R）．利用复数的运算法则及其纯虚数的定义可得$\left\{\begin{array}{l}{a-1-\sqrt{2}=0}\\{-（a+1）≠0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）∵z₁=1+i，∴$\overline{{z}_{1}}$=1-i，|z₁|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
（2）∵z₂+i是实数，∴可设z₂=a-i，（a∈R）．
∵$\overline{{z}_{1}}$•z₂-|z₁|=（1-i）（a-i）-$\sqrt{2}$=（a-1-$\sqrt{2}$）-（a+1）i是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1-\sqrt{2}=0}\\{-（a+1）≠0}\end{array}\right.$，
解得a=1+$\sqrt{2}$．
∴z₂=1+$\sqrt{2}$-i，
其坐标为$（1+\sqrt{2}，-1）$．

点评 本题考查了共轭复数的定义、模的计算公式、复数的运算法则及其纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．