Question

7．经过椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点的直线l，交抛物线y²=4x于A、B两点，点A关于y轴的对称点为C，则$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-5．

Answer 1

分析 由抛物线y²=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-x₁•x₂+y₁•y₂，由韦达定理可以求得答案．

解答 解：由题意知，椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点为（1，0），即为
抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），
∴直线AB的方程设为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），
则x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=k²（2-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$）=-4，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-x₁•x₂+y₁•y₂=-1-4=-5，
故答案为：-5．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．