Question

已知椭圆的两个焦点分别为，．点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k₁，k₂，k₃，若k₁+k₃=2k₂，试求m，n满足的关系式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意，，b=1，求出a的值，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，将直线x=1与椭圆方程联立，求得A，B的坐标，利用k₁+k₃=2k₂，可得m，n满足的关系式；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程代入整理化简，利用韦达定理及k₁+k₃=2k₂，可得k₂的值从而可得m，n满足的关系式．
解答：解：（Ⅰ）依题意，，b=1，所以．
故椭圆C的方程为．…（4分）
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由解得．
不妨设，，
因为，又k₁+k₃=2k₂，所以k₂=1，
所以m，n的关系式为，即m-n-1=0．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入整理化简得，（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，．…（9分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
所以====．…（12分）
所以2k₂=2，所以，所以m，n的关系式为m-n-1=0．…（13分）
综上所述，m，n的关系式为m-n-1=0．…（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，利用k₁+k₃=2k₂，确定k₂的值是关键．