Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB．
（Ⅰ）若PA=AB=1，AD=3，CD=

2

，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
（II）求证：CE⊥平面PAD．

Answer 1

分析：（I）由PA⊥平面ABCD，知CE⊥AD，在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，因为AB=CE=1，AB∥CE．所以四边形ABCE为矩形，由此能够求出四棱锥P-ABCD的体积．
（II）因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，所以PA⊥CE．因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，由此能够证明CE⊥平面PAD．

解答：满分（12分）
（I）解：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，
在Rt△ECD中，DE=CD•cos45°=1，CE=CD•sin45°=1，
又因为AB=CE=1，AB∥CE，
所以四边形ABCE为矩形，
所以S_{四边形ABCD}=S_矩形ADCE+S_△ECD
=AB•AE+

1

2

CE•DE=1×2+

1

2

×1×1=

5

2

，
因为PA⊥平面ABCD，PA=1，
所以V_{四棱锥P-ABCD}=

1

3

×S四边形ABCD×PA
=

1

3

×

5

2

×1=

5

6

．
（II）证明：因为PA⊥平面ABCD，CE?平面ABCD，
所以PA⊥CE．
因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD，

因为PA∩AD=A，
所以CE⊥平面PAD．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．