Question

在如图所示的几何体中， 四边形是正方形,,,且,,.

（Ⅰ）若与交于点,求证: 平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）如图，取中点，连，，易得，且，又由已知得，，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以平面；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，只需证明，即可. （Ⅲ）设平面的法向量为 由（Ⅱ）知，，，易得，

又平面的法向量为，所以可求得二面角的余弦值为

试题解析：（Ⅰ）如图，取中点，连，， 在中，因为分别是的中点，

所以，且，又由已知得，，且，

所以，所以四边形是平行四边形，所以 3分

又平面，平面所以平面 4分

（Ⅱ）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系

则，，

，， 2分

所以，

，

所以，

且

所以，； 4分

又，所以平面 5分

（Ⅲ）设平面的法向量为

由（Ⅱ）知，

所以，令，得 2分

又平面的法向量为 3分

设二面角的大小为，是锐角

则

所以二面角的余弦值为 5分

考点：立体几何的综合应用