Question

2．在平面直角坐标系中，椭圆C：$\frac{x{\;}^{2}}{a{\;}^{2}}$+$\frac{y{\;}^{2}}{b{\;}^{2}}$=1（a＞b＞0）的上顶点到焦点的距离为2，椭圆上的点到焦点的最远距离为2+$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆的方程．
（2）设P（M，0）是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点．
（ⅰ）当k=1时，|AB|=$\frac{8}{5}$$\sqrt{2}$，求M的值；
（ⅱ）若PA²+PB²的值与点P的位置无关，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由题设可知a=2，$a+c=2+\sqrt{3}$，则c可求，再由隐含条件求得b，则椭圆C的方程可求；
（2）由（1）可得，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
（ⅰ）k=1时直线l的方程为y=x-m．联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求得m的值；
（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）．将直线l与椭圆C的方程联立，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数的关系求得x₁+x₂=$\frac{8m{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{k}^{2}{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．代入PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²整理，由PA²+PB²的值与点P的位置无关，即有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）由题设可知a=2，$a+c=2+\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{3}$，故b=1．
因此，a=2，b=1．
椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）由（1）可得，椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
设点P（m，0）（-2≤m≤2），点A（x₁，y₁），点B（x₂，y₂）．
（ⅰ）若k=1，则直线l的方程为y=x-m．
联立直线l与椭圆C的方程，即$\left\{\begin{array}{l}{y=x-m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$．
将y消去，化简得 $\frac{5}{4}$x²-2mx+m²-1=0．
∴x₁+x₂=$\frac{8m}{5}$，x₁•x₂=$\frac{4（{m}^{2}-1）}{5}$，
而y₁=x₁-m，y₂=x₂-m，
因此，|AB|=$\sqrt{1+{1}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2}$•$\sqrt{5-{m}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{5}$，
∴m=±1；
（ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-m）．将直线l与椭圆C的方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
将y消去并化简得（1+4k²）x²-8mk²x+4（k²m²-1）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8m{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4（{k}^{2}{m}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．
∴PA²+PB²=（x₁-m）²+y₁²+（x₂-m）²+y₂²
=$\frac{3}{4}$（x₁²+x₂²）-2m（x₁+x₂）+2m²+2
=$\frac{{m}^{2}（-8{k}^{4}-6{k}^{2}+2）+（1+4{k}^{2}）（8{k}^{2}+8）}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$  （*）．
∵PA²+PB²的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，
∴有-8k⁴-6k²+2=0，解得k=±$\frac{1}{2}$．
∴k的值为±$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数的关系求解，是压轴题．