Question

18．已知函数f（x）=x³-3x²+m，x∈R．
（1）求曲线y=f（x）在点P（1，2）处的切线方程；
（2）若方程|f（x）-a²|=6恰有三个互不相等的实数根，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程；
（2）由切点，解方程可得m=4，由题意可得x³-3x²=2+a²或a²-10，由g（x）=x³-3x²，可得导数，单调区间和极值，画出图象，即有a²-10=0或-4．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-3x²+m的导数为f′（x）=3x²-6x，
即有曲线y=f（x）在点P（1，2）处的切线斜率为k=-3，
由f（1）=2，可得m=4，
则有曲线y=f（x）在点P（1，2）处的切线方程为y-2=-3（x-1），
即为3x+y-5=0；
（2）方程|f（x）-a²|=6，即为
x³-3x²=2+a²或a²-10，
由g（x）=x³-3x²，可得g′（x）=3x²-6x，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）递减，
当x＞2或x＜0时，g′（x）＞0，g（x）递增，
即有x=0处取得极大值0，x=2处取得极小值-4，
由题意方程|f（x）-a²|=6恰有三个互不相等的实数根，
结合图象可得a²-10=0或-4，
解得a=±$\sqrt{10}$，或±$\sqrt{6}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想和数形结合的思想方法，属于中档题．