Question

本小题满分14分）

如图,已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，设AB、PB、PC的中点分别为D、E、F，
若过D、E、F的平面与AC交于点G．
（Ⅰ）求证点G是线段AC的中点；
（Ⅱ）判断四边形DEFG的形状，并加以证明；
（Ⅲ）若PA=8，AB=8，BC=6，AC=10，求几何体BC-DEFG的体积．

Answer 1

DEFG为矩形,

解：（Ⅰ）∵ED∥PA，则PA∥平面DEFG，而PA平面APC，
平面DEFG平面APC=FG，∴PA∥FG，
又F为PC的中点，因此G为AC的中点；……………………4分 
（Ⅱ）∵点E、D分别AB、PB中点，则∴ED∥PA，且EDPA，
同理FG∥PA，且FGPA，∴ED∥FG，且ED=FG，
∴DEFG为平行四边形，由于PA⊥平面ABC，而 ED∥PA，
∴ED⊥平面ABC，∴ED⊥DG，因此DEFG为矩形.………………9分 
（Ⅲ）取PA的中点K，连结KE、KF，则多面体PA—DEFG分成
三棱锥P—KEF和三棱柱KEF—ADG，则多面体PA—DEFG的体积为；
多面体BC—DEFG的体积为=；………………… 14分