题目内容
（2013•浙江模拟）已知函数f（x）=2
sinxcosx+2cos2x+m在区间[0，
]上的最大值为2．
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
，求边长a．
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅰ）求常数m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
3
| ||
| 4 |
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+
)+m+1，再根据正弦函数的单调性求得函数
在区间[0，
]上的最大值，再由函数在区间[0，
]上的最大值为2，求得m的值．
（2）由f（A）=1，求得sin(2A+
)=
，解得A的值．因为sinB=3sinC，由正弦定理求得b=3c．因为△ABC
面积为
，求得bc=3．由此解得b和c的值，再由余弦定理求得a的值．
| π |
| 6 |
在区间[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）由f（A）=1，求得sin(2A+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
面积为
3
| ||
| 4 |
解答：解：（1）由于 f(x)=2
sinx•cosx+2cos2x+m=2sin(2x+
)+m+1，-----（2分）
因为x∈[0 ，
]，所以2x+
∈[
，
]．-------（3分）
因为函数y=sint在区间[
，
]上是增函数，在区间[
，
]上是减函数，
所以当2x+
=
，即x=
时，函数f（x）在区间[0 ，
]上取到最大值为2．----（5分）
此时，f(x)max=f(
)=m+3=2，得m=-1．-------（6分）
（2）因为f（A）=1，所以2sin(2A+
)=1，
即sin(2A+
)=
，解得A=0（舍去）或A=
．----（8分）
因为sinB=3sinC，
=
=
，所以b=3c．①-------（10分）
因为△ABC面积为
，所以S=
bcsinA=
bcsin
=
，即bc=3．-----②
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos
，所以a=
．---（14分）
| 3 |
| π |
| 6 |
因为x∈[0 ，
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
因为函数y=sint在区间[
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
所以当2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
此时，f(x)max=f(
| π |
| 6 |
（2）因为f（A）=1，所以2sin(2A+
| π |
| 6 |
即sin(2A+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
因为sinB=3sinC，
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
因为△ABC面积为
3
| ||
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos
| π |
| 3 |
| 7 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．
练习册系列答案
数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
相关题目
（2013•浙江模拟）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜
（2013•浙江模拟）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．若|