Question

3．已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx，则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的图象关于直线$x=\frac{5}{8}π$对称
• B． f（x）的图象关于点（$-\frac{3}{8}π$，0）对称
• C． 若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂=kπ，k∈Z
• D． f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得$g（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$

Answer 1

分析 先对函数进行变形化简得：f（x）=cos2x+2sinxcosx、
=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），根据三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：f（x）=cos2x+2sinxcosx、
=cos2x+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
当x=$\frac{5π}{8}$时，2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，是其对称轴，故A项正确；
当x=-$\frac{3π}{8}$时，2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$，不是其对称点，故B项错误；
∵f（-$\frac{π}{8}$）=f（$\frac{3π}{8}$）=0，但-$\frac{π}{8}$-$\frac{3π}{8}$=-$\frac{π}{2}$，故C项错误；
f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），故D选项错误．
故选A

点评 考察了三角函数的变形和三角函数的性质．倍角公式和cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）都是常考题型，应熟练掌握．