Question

【题目】已知函数g（x）= +lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx﹣ ﹣lnx（m∈R）． （Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）设h（x）= ，若在[1，e]上至少存在一个x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意， ≥0在[1，+∞）上恒成立，即 ． ∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθx﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ1﹣1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得 ．
（Ⅱ）由（1），得f（x）﹣g（x）= ．
∴ ．
∵f（x）﹣g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx2﹣2x+m≥0等价于m（1+x2）≥2x，即 ，
而 ，（ ）max=1，∴m≥1．mx2﹣2x+m≤0等价于m（1+x2）≤2x，即
在[1，+∞）恒成立，而 ∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（﹣∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅲ）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．
当m≤0时，x∈[1，e]， ， ，
所以在[1，e]上不存在一个x0 ， 使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立．
当m＞0时， ．
因为x∈[1，e]，所以2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增， ，只要 ，
解得 ．
故m的取值范围是
【解析】（Ⅰ）由题意可知 ．由θ∈（0，π），知sinθ＞0．再由sinθ≥1，结合θ∈（0，π），可以得到θ的值．（Ⅱ）由题设条件知 ．mx2﹣2x+m≥0或者mx2﹣2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．由此知 ，由此可知m的取值范围．（Ⅲ）构造F（x）=f（x）﹣g（x）﹣h（x）， ．由此入手可以得到m的取值范围是 ．