题目内容
13．（1）设数列{an}满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}满足a1=1，且an+1=an+2n，求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1，利用等差数列的求和公式即可求得数列{an}的通项公式；
（2）依题意，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1，利用等比数列的求和公式即可得到数列{an}的通项公式．
解答 解：（1）∵a1=1，an+1-an=n+1（n∈N*），
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=n+（n-1）+（n-2）+…+2+1=$\frac{n（n+1）}{2}$，
即数列{an}的通项公式为：an=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（2）∵a1=1，an+1=an+2n，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n-1+2n-2+…+21+1=$\frac{1{-2}^{n}}{1-2}$=2n-1．
∴数列{an}的通项公式为：an=2n-1．
点评 本题考查数列递推式的运用，突出考查累加法的运用，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，属于中档题．
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