Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立。

Answer 1

解：（1）因为对任意的n∈N*，点（n，S_n）均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图像上，
所以得，
当n=1时，，
当n≥2时，，
又因为{a_n}为等比数列，所以r=-1，公比为b，。
（2）当b=2时，，，
则，
所以，
下面用数学归纳法证明不等式成立，
①当n=1时，左边=，右边=，因为＞，所以不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即成立，
则当n=k+1时，
左边=
，
所以当n=k+1时，不等式也成立；
由①、②可得不等式恒成立。