Question

设a＞0，a≠1，解关于x的不等式

Answer 1

【答案】分析：本题为解数型不等式，结合指数函数的单调性，分0＜a＜1和a＞1两种情况讨论，再转化为解二次型不等式．
解答：解法一原不等式可写成．①
根据指数函数性质，分为两种情形讨论：
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
由于0＜a＜1时，判别式
△=4-4a²＞0，
所以②式等价于
③④
解③式得x＜-或x＞，
解④式得-＜x＜．
所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}．
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑤
由于a＞1，判别式△＜0，故⑤式对任意实数x成立，即得原不等式的解集为R
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
当a＞1时，原不等式的解集为R．
解法二原不等式可写成．①
（Ⅰ）当0＜a＜1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＜0，②
分解因式得（x²-1+）（x²-1-）＜0．③
④⑤
即
⑥⑦
或
解由④、⑤组成的不等式组得
-＜x＜-．
或＜x＜．
由⑥、⑦组成的不等式组解集为空集；所以，0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
（Ⅱ）当a＞1时，由①式得
x⁴-2x²+a²＞0，⑧
配方得（x²-1）²+a²-1＞0，⑨
对任意实数x，不等式⑨都成立，即a＞1时，原不等式的解集为
{x|-∞＜x＜+∞}．
综合得
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
{x|-＜x＜-}∪{x|＜x＜}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|-∞＜x＜+∞}．
点评：本题考查指数函数的性质、解不等式等知识点，注意分类讨论．