Question

设α∈（0，

π

2

），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：
（1）f（

1

2

）及sinα的值；
（2）函数g（x）=sin（α-2x）的单调递增区间；
（3）（理）n∈N时，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式（不需证明）．

Answer 1

分析：（1）分别取x=1，y=0与x=0，y=1，求出sinα的值，从而求出f（

1

2

）的值；
（2）先求出α，然后根据正弦函数的单调区间求出该函数的单调区间，将

π

6

-2x看成整体进行求解即可；
（3）根据条件可得f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，即可猜测：f（x）=x．

解答：解：（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα?sinα=

1

2

∴f（

1

2

）=1-

1

2

=

1

2

（2）由（1）知：sinα=

1

2

，又α∈（0，

π

2

）
∴α=

π

6

∴g（x）=sin（

π

6

-2x），
∴g（x）的增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，f（a_n）=f（

1

2n

）（n∈N，n≥2）
∴f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，故f（a_n）=f（a₁）•q^n-1′=

1

2n

，猜测：f（x）=x．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，以及数列与函数的综合，同时考查了计算能力，属于中档题．