Question

已知函数f（x）=

1

2

-cos2(x+

π

4

)+sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)．
（I）求函数f（x）的最大值和周期；
（II）设角α∈（0，2π），f（α）=

2

2

，求α．

Answer 1

分析：（I）通过二倍角公式和两角和的正弦函数化简函数的表达式，直接求函数f（x）的最大值和周期；
（II）通过f（a）=

2

2

，求出α的表达式，结合角α∈（0，2π），求出α的值．

解答：解：（I）函数f（x）=

1

2

-cos2(x+

π

4

)+sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

1

2

- 

1

2

[1+cos(2x+

π

2

)] +

1

2

sin(2x+

π

2

)
=

1

2

sin（2x+

π

2

）-

1

2

cos(2x+

π

2

)=

2

2

sin[(2x+

π

2

)-

π

4

]=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
∴函数f（x）的最大值为

2

2

，周期为T=π
（II）∵f（α）=

2

2

∴

2

2

sin(2α+

π

4

)=

2

2

∴sin(2α+

π

4

)=1
∴2α+

π

4

=2kπ+

π

2

  k∈Z，∴2α=2kπ+

π

4

   k∈Z
∴α=kπ+

π

8

   k∈Z
∵α∈（0，2π），∴α=

π

8

或α=

9π

8

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角方程的应用，考查计算能力，注意角的范围的应用．