Question

（本小题满分14分）设、是焦距为的椭圆的左、右顶点，曲线上的动点满足，其中，和是分别直线、的斜率．

（1）求曲线的方程；

（2）直线与椭圆只有一个公共点且交曲线于两点，若以线段为直径的圆过点，求直线的方程．

Answer 1

（1）；（2）3x＋2y＋5＝0．

【解析】

试题解析：（1）由已知椭圆中，，∴，解得a＝2，

所以 A，B的坐标为 A（1,0）, B（1,0） ． 2 分

设P（x, y），则由已知可得，即，

所以曲线的方程为． 5 分

（2）若直线MN 垂直x轴，则与曲线只有一个交点，与题意不符，所以直线MN 存

在斜率，故设直线MN 的方程为：y＝kx＋m， 6 分

代入椭圆方程整理，得，

由题意可得直线与椭圆相切，故 ，

即 ① 7 分

将y＝kx＋m代入，整理得，

设，则 ②

且， 8 分

故?

? 10 分

由以线段MN 为直径的圆过点B，所以BM⊥BN ，得m－k＝－1 ③ 12分

由①③解得，经检验满足条件②

所以存在直线MN 满足条件，其方程为3x＋2y＋5＝0． 14 分

考点：考查求曲线的方程，直线与圆，直线与抛物线的位置关系．