Question

如图α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A₁，点B在l上的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=2，求：

（1）直线AB分别与平面α,β所成角的大小；

（2）二面角A₁—AB—B₁的大小.

Answer 1

解法一：（1）如下图，连结A₁B、AB₁.?

?

∵α⊥β,α∩β=l,AA₁⊥l,BB₁⊥l,∴AA₁⊥β,BB₁⊥l,则∠BAB₁、∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角.?

Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2.?

∴sin∠BAB₁==,∴∠BAB₁=45°.?

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2.?

∴sin∠ABA₁==，∴∠ABA₁=30°.?

故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.

(2)∵BB₁⊥α,?

∴平面ABB₁⊥α,在平面α内过Α₁，作A₁E⊥AB₁，交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，则由三垂线定理得A₁F⊥AB.??

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.?

在Rt△ABB₁中 ,∠BAB₁=45°,?

∴AB₁=B₁B=.?

∴Rt△AA₁B₁中,AA₁=A₁B₁=1.?

∴A₁E=AB₁=.?

在Rt△AA₁B中，==.?

由AA₁·A₁B=A₁F·AB得?

A₁F===,?

∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE==.?

∴二面角A₁—AB—B₁的大小为arcsin.

解法二：（1）同解法一.

 (2)如右图，建立坐标系，则A₁（0，0，0），A（0，0，1），B₁（0，1，0），B（2，1，0）.在AB上取一点F（x,y，z），则存在t∈R,使得=t.

?

即（x,y,z-1）=t(,1,-1),∴点F的坐标为（t,t,1-t）.??

要使⊥，须·=0，?

即（t,t,1-t）·（，1，-1）=0，?

2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为（，，）.?

∴=(,  , ).?

设E为AB₁的中点，则点E的坐标为（0，，）.?

∴=(,-,).?

又EF·AB=（，-，）·（，1，-1）=--=0，?

∴EF⊥AB.?

∴∠A₁FE为所求二面角的平面角.

又cos∠A₁FE=

=?

===.?

∴二面角A₁—AB—B₁的大小为arccos.