Question

如图,M、N、P分别是正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点.?

(1)若,求证:无论点P在D₁D上如何移动,总有BP⊥MN;?

(2)若D₁P∶PD=1∶2,且PB⊥平面B₁MN,求二面角MB₁NB的大小;?

(3)在棱DD₁上是否存在这样的点P,使得平面APC₁⊥平面ACC₁?证明你的结论.

Answer 1

(1)证明:若,则MN∥AC.?

又∵正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁,?

∴DD₁⊥面ABCD.?

BD为BP在面ABCD上的投影.?

又∵BD⊥AC,AC面ABCD,?

∴BP⊥AC.又∵MN∥AC,∴BP⊥MN.?

(2)解析：设BP交平面B₁MN于E,BD交MN于F,二面角M-B₁N-B的大小为θ.?

∵MB⊥面BB₁N,?

∴△BB₁N为△MB₁N在面BB₁C₁C上的投影,cosθ=.?

∵V_B—MB1N?=×S_△BB1N?×BM =×S_△B1MN?×BE,?

∴cosθ=.?

∵BP⊥面B₁MN,∴BP⊥EF.?

又∵PD⊥BP,∴.?

∵BP⊥面B₁MN,∴BP⊥MN.?

又∵BD为BP在面ABCD上的投影,则BD⊥MN,则BF=BM.?

又设正方体棱长为a,?

则PD=a,BD=a,BP=a,?

,cosθ=,tanθ=,θ=arctan.??

(3)证明：若存在,过C作CQ⊥AC₁于Q.再过Q作QQ₁⊥面DCC₁D₁于Q₁.在Rt△ACC₁中,CQ⊥AC₁,AC=a,CC₁=a,则C₁Q∶QA=1∶2.?

∴C₁Q₁∶Q₁D=1∶2.?

∵面APC₁⊥面ACC₁,两面交于AC₁,面ACC₁中有CQ⊥AC₁.

∴AC₁⊥面APC₁.∴AC₁⊥PC₁.?

又CQ₁为CQ在面CDD₁C₁上的投影,且C₁P 面CDD₁C₁,CQ⊥C₁P，?

∴CQ₁⊥C₁P.设CQ₁交C₁D₁于R.?

∴△CRC₁≌△C₁PD₁.?

∴.?

又∵C₁Q₁∶Q₁D=1∶2,

∴C₁R∶CD=1∶2,R为C₁D₁的中点.?

∴P为DD₁的中点.?

存在点P,P为DD₁的中点.