Question

（理科）如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2

2

，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥平面DAE；
（3）当AD多长时，平面CDEF与 平面ADE所成的锐二面角为60°？

Answer 1

分析：（1）连结AC，通过证明MN∥CF，利用直线与平面平行的判定定理证明MN∥平面BCF；
（2）通过证明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直线与平面垂直的判定定理求证：AP⊥平面DAE；
（3）过点A作AG⊥DE交DE于G点，连结PG，则DE⊥PG，可得∠AGP为二面角A-DE-F的平面角，利用等面积，即可得到结论．

解答：（1）证明：连结AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；
（2）证明：依题意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P为EF中点，∴FP=AB=2

2

结合AB∥EF，知四边形ABFP是平行四边形
∴AP∥BF，AP=BF=2，
而AE=2，PE=2

2

，∴AP²+AE²=PE²
∴∠EAP=90°，即AP⊥AE，
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE；
（3）解：过点A作AG⊥DE交DE于G点，连结PG，则DE⊥PG
∴∠AGP为二面角A-DE-F的平面角，
由∠AGP=60°，AP=BF=2得AG=

AP

tan60°

=

2 3

3

，
又AD•AE=AG•DE得2AD=

2 3

3

•

22+AD2

，
解得AD=

2

，即AD=

2

时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°．

点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查面面角，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．