Question

已知动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，求|PM|+|PF|的最大值及此时的P点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为，建立方程，化简可得动点P的轨迹方程；
（2）根据点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，可得|PM|≤|PC|+1，设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，从而|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，根据当点P是CF₁延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF₁|取得最大值，即可求得|PM|+|PF|的最大值，进而可得P点坐标．
解答：解：（1）设P（x，y），由题意得：，化简可得
∴动点P的轨迹方程为----（5分）
（2）∵点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）
设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，------（7分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
当点P是CF₁延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF₁|取得最大值，
∴|PM|+|PF|的最大值为，------（10分）
此时直线CF₁的方程是y=3x+3，
点P的坐标是方程组的解，消去y得，13x²+24x+8=0，----（11分）
解得，
∴，，----（13分）
此时的P点坐标为（，）．-------------（14分）
点评：本题重点考查轨迹方程，考查圆与椭圆的综合，解题的关键是利用椭圆的定义，合理运用圆的性质，有一定的综合性．