Question

已知动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为

1

2

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，求|PM|+|PF|的最大值及此时的P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据动点P到点F（1，0）的距离与它到直线x=4的距离之比为

1

2

，建立方程，化简可得动点P的轨迹方程；
（2）根据点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，可得|PM|≤|PC|+1，设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，从而|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，根据当点P是CF₁延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，即可求得|PM|+|PF|的最大值，进而可得P点坐标．

解答：解：（1）设P（x，y），由题意得：

(x-1)2+y2

=

1

2

|x-4|，化简可得

x2

4

+

y2

3

=1
∴动点P的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1----（5分）
（2）∵点M是圆C：x²+（y-3）²=1上的动点，∴|PM|≤|PC|+1，-------（6分）
设椭圆的左焦点为F₁（-1，0），依据椭圆的定义知，|PF|=4-|PF₁|，------（7分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF₁|=|PC|-|PF₁|+5≤|CF₁|+5，
当点P是CF₁延长线与椭圆的交点时，|PC|-|PF₁|取得最大值|CF1|=

10

，
∴|PM|+|PF|的最大值为

10

+5，------（10分）
此时直线CF₁的方程是y=3x+3，
点P的坐标是方程组

y=3x+3 x2 4 + y2 3 =1

的解，消去y得，13x²+24x+8=0，----（11分）
解得x=

-12±2 10

13

，
∴xp=

-12-2 10

13

，yp=

3-6 10

13

，----（13分）
此时的P点坐标为（

-12-2 10

13

，

3-6 10

13

）．-------------（14分）

点评：本题重点考查轨迹方程，考查圆与椭圆的综合，解题的关键是利用椭圆的定义，合理运用圆的性质，有一定的综合性．