Question

设?A、B?、C?分别为复数平面上代表1+i?、1+iZ，以及1-i的点．请问下列哪些选项所对应的点落在△OAB的内部？
（1）cos60°
（2）cos50°+isin50°
（3）

4-3i

5

（4）

1+ 3 i

2

（5）（cos30°+isin30°）²⁵．

Answer 1

分析：根据所给的三个复数的代数形式，写出复数对应的点，得到以这三个点为顶点的三角形，把所给的五个条件进行验证，从模长到幅角两个方面来说明．

解答：解：可知

.

OA

与

.

OB

均与x轴夹45度角．
且

.

OA

=

.

OB

=

12+12

=

2

，

.

OC

=1
（1）cos60°=

1

2

+0i，故cos60°位于x轴上
距离原点

1

2

单位之处，所以cos60°位
于△ABC内部．
（2）cos50°+isin50°与原点距离为

cos250°+sin250°

=1，且与x轴夹50度角的点，
故此点在△ABC外部．（因为50°＞45°）
（3）

4

5

-

3

5

i在复数平面对应到点(

4

5

，-

3

5

)∵(

4

5

，-

4

5

)在

.

OB

上，
∴(

4

5

，-

3

5

)在△ABC内部．
（4）

1

2

+

3

2

i在复数平面对应到点(

1

2

，

3

2

)∵(

1

2

，

1

2

)在

.

OA

上，
∴(

1

2

，

3

2

)在外部．
（5）（cos30°+isin30°）²⁵=cos750°+isin750°=cos30°+isin30°，
此点与原点距离为

cos230°+sin230°

=1，且与x轴夹30度角的点，
故此点在△ABC内部．（因为30°＜45°）
答：（1）（3）（5）

点评：本题考查复数的几何意义，考查复数的三角形式，本题是一个基础题，题目中所给的五个点具有共同的特征，检验方式一样．