Question

已知椭圆C：的离心率为，且过点Q（1，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线x+y-1=0上，且满足 （O为坐标原点），求实数t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆的焦距为2c，由e=，设椭圆方程为，由在椭圆上，能求出椭圆方程．
（2）设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，知k∈，由此入手能够求出实数t的最小值．
解答：解：（1）设椭圆的焦距为2c，
∵e=，∴a²=2c²，b²=c²，
设椭圆方程为，
∵在椭圆上，
∴，解得c²=1，
∴椭圆方程为．
（2）由题意知直线AB的斜率存在，
设AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
，
即k∈，
，
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
当k=0时，t=0；
当t≠0时，
，
=，
∵点P在直线x+y-1=0上，
∴，
∴t=．
∵k∈，
∴令h==≤．
当且仅当k=时取等号．
故实数t的最小值为4-4h=．
点评：本题考查椭圆与直线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．