题目内容
已知椭圆C:的离心率为,且经过点.(1)求椭圆C的方程;
(2)设F是椭圆C的左焦,判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由.
【答案】分析:(1)利用椭圆的离心率和将点P坐标代入椭圆方程中,解得a2,b2,从而求出椭圆方程.
(2)第一步:根据椭圆方程先求出左焦点,再求出以椭圆C的长轴为直径的圆的方程及圆心和半径,
第二步:求出以PF为直径的圆的方程及圆心和半径,再根据圆心距与两半径的关系得到两圆相切.
解答:解:(1)∵椭圆的离心率为,且经过点.
即解得
∴椭圆C的方程为.
(2)∵a2=4,b2=3,∴.
∴椭圆C的左焦点坐标为(-1,0).
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心坐标是(0,0,半径为2
以PF为直径的圆的方程为,圆心坐标为(0,),半径为
∵,
故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
点评:此题考查椭圆方程的求法,及两圆之间位置关系的判定,尤其是两圆位置关系的判定是解析几何在高考中的热点问题.
(2)第一步:根据椭圆方程先求出左焦点,再求出以椭圆C的长轴为直径的圆的方程及圆心和半径,
第二步:求出以PF为直径的圆的方程及圆心和半径,再根据圆心距与两半径的关系得到两圆相切.
解答:解:(1)∵椭圆的离心率为,且经过点.
即解得
∴椭圆C的方程为.
(2)∵a2=4,b2=3,∴.
∴椭圆C的左焦点坐标为(-1,0).
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心坐标是(0,0,半径为2
以PF为直径的圆的方程为,圆心坐标为(0,),半径为
∵,
故以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.
点评:此题考查椭圆方程的求法,及两圆之间位置关系的判定,尤其是两圆位置关系的判定是解析几何在高考中的热点问题.
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