Question

．．已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点。
（1）求轨迹W的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）对于的任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由。

Answer 1

（1）
（2）
（3）存在

解：（1）依题意可知 ∴
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支
设其方程为   则  ∴
∴轨迹W的方程为……………………4分
（2）当的斜率不存在时，显然不满足，故的斜率存在，
设的方程为
由得
又设，则

由①②③解得
∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即
故所求直线的方程为：…………………………9分
（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线有公共点
若直线的斜率不存在，则以AB为直径的圆为
可知其与直线相交
若直线的斜率存在，则设直线的方程为

由（2）知且
又为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2
则
设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径的距离为d，则

∴
∵  ∴ 即
即直线与圆S相交。
综上所述，以线段AB为直径的圆与直线相交
故对于的任意一确定的位置，与直线上存在一点Q（实际上存在两点）
使得 ………………………………14分